平行线问题

概要：一点，有且只有一条直线与这条直线平行”． 在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用． 例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90° ． 分析 由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2= 过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移． 证 过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以 ∠1+∠2=180°(同侧内角互补)． 因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以

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     平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．

　　正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．

　　正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．

　　现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．

　　在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．

　　例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°

．

　　分析 由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=

过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．

　

　　证 过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以

∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．

　　因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以

 

　　又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以

∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

 

　　说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立， 即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”

 

　　由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．

　　例2 如图1－21所示，AA₁∥BA₂求∠A₁-∠B₁+∠A₂．

　

　　分析 本题对∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即

∠A₁+∠A₂=∠B₁． ①

　　猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B₁一分为二使其每一部分分别等于∠A₁与∠A₂．这就引发我们过B₁点引AA₁(从而也是BA₂)的平行线，它将∠B₁一分为二．

　　证 过B₁引B₁E∥AA₁，它将∠A₁B₁A₂分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．

　　因为AA₁∥BA₂，所以B₁E∥BA₂．从而

∠1=∠A₁，∠₂=∠A₂(内错角相等)，

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　　所以

∠B₁=∠1+∠2=∠A₁+∠A₂，

　　即 ∠A₁-∠B₁+∠A₂=0．

　　说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA₁∥BA₂，它与连接A₁，A₂两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A₁，A₂之间的折线段增加到4条：A₁B₁，B₁A₂，A₂B₂，B₂A3，仍然有

∠A₁+∠A₂+∠A3=∠B₁+∠B₂．

　　(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A₁-∠B₁+∠A₂-∠B₂+∠A3=0．

　　进一步可以推广为

∠A₁-∠B₁+∠A₂-∠B₂＋…-∠B_n-₁+∠A_n=0．

　　这时，连结A₁，A_n之间的折线段共有n段A₁B₁，B₁A₂，…，B_n-₁A_n(当然，仍要保持 AA₁∥BA_n)．

　　推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．

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