平行线问题

概要： 例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EFwww.daertutu.com⊥CD． 求证：∠3=∠B． 分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得． 证 因为∠1=∠2，所以 AD∥BC(内错角相等，两直线平行)． 因为∠D=90°及EF⊥CD，所以 AD∥EF(同位角相等，两直线平行)． 所以 BC∥EF(平行公理)， 所以 ∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．

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　　证 过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以

∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．

　　又∠1+∠2=180°，所以

∠ABD+∠CBD=180°，

　　即∠ABC=180°=平角．

　　A，B，C三点共线．

　　思考 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？

　　例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF

www.daertutu.com⊥CD．

　　　　求证：∠3=∠B．

　　分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．

 

　　证 因为∠1=∠2，所以

AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．

　　因为∠D=90°及EF⊥CD，所以

AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．

　　所以 BC∥EF(平行公理)，

　　所以

∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．

练习十二

　　1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

　　2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．

　

　　3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

　　4．证明：五边形内角和等于540°．

　　5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．

　　

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